Por que um pintor pinta um quadro?

Você já deve ter ouvido falar que a matemática é a linguagem com a qual é possível descrever a natureza: o mundo tem padrões, e a matemática nos ajuda a entendê-los. Ela também é o veículo que nos leva para fora da realidade concreta, rumo a realidades imaginadas. Com ela, é possível fazer uma sequência infinita de perguntas "E se?". "E se o espaço tivesse quatro dimensões em vez de três?" "E se fosse possível contar os números inteiros até que acabassem?" "E se uma linha reta na verdade não fosse uma reta?" Além de nos ajudar a dar forma à natureza que enxergamos, a matemática também permite investigar suas próprias estruturas. Entre as perguntas dessa investigação, há uma simples apenas na aparência: qual é a maneira mais enxuta de definir um objeto matemático, sem gastar lógica à toa? Essa é a principal pergunta da investigação de Bruno Braga, pesquisador do Instituto de Matemática Pura e Aplicada (Impa). Imagine uma planilha de Excel. Cada célula tem um endereço —a combinação de uma coluna e uma linha. Isso é o que matemáticos chamam de sistema de coordenadas. Agora imagine uma planilha impossível, com linhas infinitas. "Uma planilha dessas poderia ser usada para descrever um espaço de dimensão infinita, em que cada linha representa uma dimensão desse espaço", Braga explica. É mais ou menos assim que podemos pensar em um espaço de Banach, que é, por definição, "um espaço vetorial normado completo". Em outras palavras, é um espaço matemático tão vasto que, para descrever um único ponto dele, seria preciso uma lista infinita de números. O espaço de Banach leva esse nome em homenagem ao matemático polonês Stefan Banach, que fez grandes contribuições à análise funcional (o estudo de espaços e funções matemáticas) na primeira metade do século 20. Mas uma pergunta ficou em aberto por décadas: será que todo espaço desse tipo pode ser descrito por uma lista infinita de coordenadas? Para o matemático sueco Per Enflo, a resposta é não. "Na década de 1970, Enflo matou a charada: existem espaços 'rebeldes'", diz Braga, "nos quais nem uma lista infinita de números dá conta de descrever os pontos na planilha infinita". Colunas Receba no seu email uma seleção de colunas da Folha É aqui que entra a pesquisa de Bruno Braga. Ele não está tentando reinventar a roda que Enflo descobriu. O que ele quer entender é outra coisa: quão complicado é decidir se um espaço qualquer é "bem-comportado" (tem coordenadas) ou "rebelde" (não tem). Para isso, ele recorre a uma ferramenta de outra área da matemática, a teoria descritiva dos conjuntos, que funciona como um termômetro de complexidade: toda definição matemática usa certas palavras-chave, chamadas de quantificadores —"para todo" e "existe". Quanto menos quantificadores uma definição usa, mais simples ela é. "Não necessariamente mais correta, só mais enxuta mesmo", diz Braga. A definição mais natural de "espaço com coordenadas" emprega a palavra "existe" –a ideia de que "existe um sistema de coordenadas tal que...", como estudamos na escola. A pergunta que guia o projeto do pesquisador é se esse "existe" é realmente necessário. Haveria um jeito de descrever esses espaços sem recorrer a ele? Braga diz acreditar que não há como escapar desse "existe" —e é justamente isso que ele está tentando provar. O interesse do pesquisador por perguntas que dão um nó na cabeça não é de fundo prático. A beleza da coisa toda é ajudar a expandir os limites do que conseguimos abstrair a partir da matemática. "Por que o pintor pinta um quadro? Na maioria das vezes, ele só pinta porque quer. Porque sim. E, com sua arte, não está tornando o mundo um lugar melhor?", ele questiona. Diante de séculos de arte e milhares de museus pelo mundo, a resposta parece simples, você não acha? O Ciência Fundamental é editado pelo Serrapilheira, um instituto privado, sem fins lucrativos, de apoio à ciência no Brasil. Inscreva-se na newsletter do Serrapilheira para acompanhar as novidades do instituto e da coluna. LINK PRESENTE: Gostou deste texto? Assinante pode liberar sete acessos gratuitos de qualquer link por dia. Basta clicar no F azul abaixo.